Mustafabəy Ağabəy oğlu Topçubaşov 1919-cu ildə Kiyev Universitetinin tibb fakültəsini bitirmişdir. 1920-ci ildən başlayaraq Bakı Universitetinin tibb fakültəsinin yeni yaradılmış fakültativ cərrahiyyə kafedrasında fəaliyyətə başlamışdır.
1930-cu ildə “Malyariya mənşəli splenomeqaliyanın klinikasi və cərrahi müalicəsi” movzusu üzrə doktorluq dissertasiyası müdafiə etmiş və tibb elmləri doktoru elmi adi almışdır. Həmin dövrdən ömrünün axırına qədər Tibb institutunda fakültativ cərrahiyyə kafedrasına rəhbərlik etmişdir. Azərbaycan cərrahiyyə məktəbinin yaranmasında M.A. Topçubaşovun misilsiz əməyi olmuşdur. 1938-ci ildə onun tərəfindən narkozun analgeziya mərhələsində aparılması metodu dünyada birinci dəfə təklif olunmuşdur.
M.A. Topçubaşov Sovet cərrahiyyəsinin inkişafındakı xidmətlərinə görə 1943- ci ildə SSRİ Dovlət mükafatına layiq görülmüşdür.
1945-ci ildə Azarbaycan Elmlər Akademiyasının həqiqi üzvü seçilmiş, bir çox ali dövlət ordenləri və mükafatları ilə təltif olunmuşdur. 1949-cu ildə SSRİ Tibb Elmləri Akademiyasnın müxbir üzvü, 1960-ci ildə isə həqiqi üzvü seçilmişdir. Mustafabəy Topçubaşov1975-ci ildə Sosialist Əməyi Qəhrəmanı adina layiq gorülmüş və müxtəlif vaxtlarda SSRİ-nin о zamanki ən yüksək mükafatı sayılan “Lenin”ordeni ilə 4 dəfə təltif olunmuşdur.
A. Topçubaşov 1950-ci ildən omrünün axırınadək Azarbaycan Sülhü Müdafiə Komitəsinin sədri, Sovet Sülhü Müdafiə komitəsinin, Asiya va Afrika Ölkələri ilə Həmrəylik Komitəsinin üzvü olmuşdur. Sülh uğrunda fəal mübarizlərdən biri kimi Umumdünya Sülh şurasının gümüş medalına layiq görülmüşdür.
M.A. Topçubaşov ilk dəfə Azərbaycan dilində nəşr edilən 5 cildlik “Xüsusi cərrahiyyə” kitabnın müəllifidir. Onun rəhbərliyi altında 35 doktorluq və namizədlik dissertasiyasi müdafiə olunmuşdur.